PUBLICACIONES

Sociedad Colombiana de Matemáticas:Publicaciones
Lecturas Matemáticas
Volumen 32 [2] (2011)Páginas 61-77

Solución estable del problema de Cauchy para la ecuación de Laplace usando potenciales de superficie

Mario A. Cortés Sumano,Andrés Fraguela Collar Alexandre Grebennikov,María M. Morín Castillo
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, Puebla, México

Resumen.En este trabajo se estudia el problema de Cauchy para la ecuación de Laplace en una región anular bidimensional. La solución se propone como suma de potenciales de superficie con densidades de carga definidas sobre la frontera de la región, las cuales se buscan numéricamente por medio de un método de colocación. Entre las ventajas de este método están las de ser conceptualmente simple, fácil de implementar numéricamente, puede aplicarse a una amplia gama de curvas y puede extenderse al caso tridimensional. Debido al mal planteamiento del problema de Cauchy, la matriz obtenida del método de colocación es mal condicionada, presentando por ello inestabilidad numérica; la cual es tratada por medio del método de regularización de Tijonov. Se presentan ejemplos sintéticos para el caso de una región anular circular, en el cual se calcula de forma exacta el potencial y se compara con el obtenido numéricamente. Los resultados de este trabajo muestran la factibilidad de la técnica propuesta para hallar una solución estable a este problema.

Abstract. In this work the Cauchy problem for the Laplace equation in an annular bidimensional region is studied. The solution is sought like sum of surface potentials with densities defined on the boundary of the annular region which ones are numerically looking for a collocation method. The advantages of this technique are: conceptually simple, easy to implement numerically, can be applied to different curves representing the boundary and can be extended to the tridimensional case. Due to ill posedness of the Cauchy problem, the matrix obtained by collocation method, is ill conditioned presenting for that numerical instability, which is handled by the Tikhonov regularization method. Synthetic examples are presented for a circular annular region. In this case the potential is calculated in exact form and compared to the numerical approximation. The results of this work show the feasibility of the technique for the stable solution of the problem.


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