Resumen.Las extensiones PBW torcidas graduadas fueron denidas por el primer autor como una generalización de las extensiones de Ore iteradas gra- duadas [36]. El proposito de este artículo es estudiar las condiciones Artin- Schelter regular y Calabi-Yau (torcida) para esta clase de extensiones. De- mostramos que cada extensión PBW torcida cuasi-conmutativa graduada de un álgebra Artin-Schelter regular también es Artin-Schelter regular, y, como consecuencia, que cada extensión PBW torcida cuasi-conmutativa gradua- da de un álgebra conexa Calabi-Yau torcida es Calabi-Yau torcida. Final- mente, mostramos que las extensiones PBW torcidas graduadas de álgebras Auslander-regular nitamente presentadas y conexas son Calabi-Yau torcidas.

Abstract. Graded skew PBW extensions were dened by the rst author as a generalization of graded iterated Ore extensions [36]. The purpose of this paper is to study the Artin-Schelter regularity and the (skew) Calabi- Yau condition for this kind of extensions. We prove that every graded quasi- commutative skew PBW extension of an Artin-Schelter regular algebra is also an Artin-Schelter regular algebra and, as a consequence, every graded quasi- commutative skew PBW extension of a connected skew Calabi-Yau algebra is skew Calabi-Yau. Finally, we prove that graded skew PBW extensions of a nitely presented connected Auslander-regular algebra are skew Calabi-Yau