PUBLICACIONES

Sociedad Colombiana de Matemáticas:Publicaciones
Revista Colombiana de Matemáticas
Volumen 39 [2] (2005)Páginas 63 - 86

Representing 3-manifolds by triangulations of S^3 : a constructive approach

Mike Hilden
University of Hawaii, Honolulu
José M. Montesinos
Universidad Complutense, Madrid
Débora Tejada
Universidad Nacional de Colombia, Medellín

Resumen. Una triangulación $\Delta$ de $S^{3}$ define un único número $m\leq4,$ un subgrafo $\Gamma$ de $\Delta$ y una representación $\omega(\Delta)$ de $\pi_{1}(S^{3}\backslash\Gamma)$ en $\Sigma_{m.}$ Se sabe que cada $(K,\omega)$, donde $K$ es un nudo o enlace en $S^{3}$ y $\omega$ es una representación transitiva de $\pi_{1}(S^{3}\backslash K)$ en $\Sigma_{m},$ $2\leq m\leq3,$ es igual a $\omega(\Delta)$ para algún $\Delta$. De esto se obtiene una representación de 3-variedades cerradas y orientables por triangulaciones de $S^{3}$. Este es un teorema de Izmestiev y Joswig pero, en contraste con su prueba, el método en este artículo es constructivo. Este trae consigo una nueva representación de nudos y enlaces llamada representación mariposa. Se dan algunas generalizaciones.

Abstract. A triangulation $\Delta$ of $S^{3}$ defines uniquely a number $m\leq4,$ a subgraph $\Gamma$ of $\Delta$ and a representation $\omega(\Delta)$ of $\pi_{1}(S^{3}\backslash\Gamma)$ into $\Sigma_{m.}$ It is shown that every $(K,\omega)$, where $K$ is a knot or link in $S^{3}$ and $\omega$ is transitive representation of $\pi_{1}(S^{3}\backslash K)$ in $\Sigma_{m},$ $2\leq m\leq3,$ equals $\omega(\Delta)$, for some $\Delta$. From this, a representation of closed, orientable 3-manifolds by triangulations of $S^{3}$ is obtained. This is a theorem of Izmestiev and Joswig, but, in contrast with their proof, the methods in this paper are constructive. Some generalizations are given. The method involves a new representation of knots and links, which is called a butterfly representation.

* (1) Work supported by BMF-2002-04137-C02-01
(2) Work partially supported by COLCIENCIAS 1118-05-13631, DIME 030802721 and by the Group of Mathematics UNAL-Medellín.



Palabras claves. Knot, link,3--manifold, triangulation, representation, branched covering, coloration.

Codigo AMS. Primary: 57M25. Secondary: 57M12.

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