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Sociedad Colombiana de Matemáticas:Publicaciones

Revista Colombiana de Matemáticas

Volumen 39 [2] (2005)Páginas 97 - 112

A variant of Newton's method for generalized equations

Jean-Alexis C\'elia
Universit\'e des Antilles et de la Guyane,France
Pietrus Alain
Universit\'e des Antilles et de la Guyane, France

Resumen.En este artículo estudiamos una variante del método de Newton de la forma $$ 0 \in f(x_k) + h \triangledown f(x_k)(x_{k+1}-x_k)+ F(x_{k+1})$$ donde, $f$ es una función cuya derivada de Frechet es $K$-lipschitz, $F$ es una función entre dos espacios de Banach $X \ \text{y} \ Y $ cuyos valores son conjuntos y $h$ es una constante. Probamos que este método converge localmente a $x^*$, una solución de $$ 0 \in f(x)+ F(x), $$ si la aplicación $ [f(x^*) + h \triangledown f(x^*)(.-x^*) + F(.)]^{-1}$ es Aubin continua en $(0, x^*)$. También probamos la estabilidad del método.

Abstract. In this article, we study a variant of Newton's method of the following form $$ 0 \in f(x_k) + h \triangledown f(x_k)(x_{k+1}-x_k)+ F(x_{k+1}),$$ where $f$ is a function whose Frechet derivative is $K$-lipschitz, $F$ is a set-valued map between two Banach spaces $X \ \text{and} \ Y \ \text{and} \ h $ is a constant. We prove that this method is locally convergent to $x^*$ a solution of $$ 0 \in f(x)+ F(x) $$ if the set-valued map $ [f(x^*) + h \triangledown f(x^*)(.-x^*) + F(.)]^{-1}$ is Aubin continuous at $(0, x^*)$ and we also prove the stability of this method.

Palabras claves. Set--valued mapping, generalized equation, linear convergence, Aubin continuity

Codigo AMS. Primary: 49J53, 47H04. Secondary: 65K10.

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