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Sociedad Colombiana de Matemáticas:Publicaciones

Revista Colombiana de Matemáticas

Volumen 40 [2] (2006)Páginas 111--117

Una debilitación del axioma de elección para el árbol binario estándar

Johan Bogoya,Carlos Montenegro
Universidad de los Andes, Bogotá

Resumen.El axioma de elección dice que para cada colección de conjuntos (es decir conjunto de conjuntos) $X$, existe una función $f$ tal que $f(x)\in x$ para todos los $x\in X$ no vacíos, es decir, la función $f$ selecciona un elemento de cada conjunto de la colección $X$; a dicha función la llamamos función electora. Se acostumbra debilitar dicho axioma imponiendo condiciones sobre el conjunto $X$ como por ejemplo: ``$X$ es una colección de $n$-conjuntos, es decir que los elementos de $X$ son conjuntos finitos de tamaño $n $'' o debilitando la función electora $f$ al cambiar la condición $f(x)\in x$ por $\emptyset \neq f(x)\subsetneq x$, en este último caso decimos que $f$ es una función selectora. Decimos que el criterio $S_{n}$ es válido en un modelo $\mathcal{M}$ si todas las colecciones de $n $-conjuntos $X$ en $\mathcal{M}$, tienen una función selectora. En el presente trabajo se exhibe un modelo de permutación de soporte finito [2, capítulo 4] donde el criterio $S_{n}$ es falso para todos los enteros $n$ de la forma $2^{k}$, con $k$ natural y es válido para el resto de los naturales.

Abstract. The axiom of choice says that for any collection of sets (or for any set of sets) $X$, exists a function $f$ such that $f(x)\in x$ for all non empty $x\in X$, i.e. $f$ takes an element in each set of the collection $X$, such function is called a \textit{choice function}, it is customary to weak the axiom of choice by putting some extra condition for the set $X$ such that: ``$X$ is a $n$-set collection, meaning that the elements of $X$ are finite sets of size $n$'' or in the other hand, weakening the choice function $f$ by changing the condition $f(x)\in x$ by the simpler one $\emptyset \neq f(x)\subsetneq x$, in this last case we say that $f$ is a \textit{sellector function}. We say that the $S_n$ criterion is true in a model $\mathcal{M}$ if all the possible collections of $n$-sets $X$ in $\mathcal{M}$, have a sellector function. In the present work we exhibit a permutation model of finite support [2, chapter 4] where the $S_{n}$ criterion fails for all the naturals $n$ of the form $2^{k}$ with $k$ natural, and works for the rest of the naturals.

Palabras claves. Logic, models, axiom of choice.

Codigo AMS. Primary: 03C50. Secondary: 03E25

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