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Sociedad Colombiana de Matemáticas:Publicaciones
Lecturas Matemáticas
Volumen 27 [1] (2006)Páginas 21--25
Artículos Matemáticos

Even from Gregory-Leibniz series π could be computed: an example of how convergence of series can be accelerated

Vito Lampret
University of Ljubljana, Ljubljana, Slovenia

Resumen.La serie de Gregory-Leibniz ${\Large \Sigma} _{j=1}^{\infty}\frac {(-1)^{j+1}}{2j-1}=\frac{\pi}{4}$, se conoce en la literatura como un ejemplo de una hermosa, interesante y sencilla expresión analítica de $\pi$. Desafortunadamente, la mayoría de los autores la consideran inapropiada para el cálculo de $\pi$. En esta nota se usa una simple transformación de la serie y una aplicación de la fórmula sumación de Euler-Maclaurin para mostrar cómo esta convergencia lenta puede acelerarse hasta el punto de que el cálculo numérico de $\pi$ nos produzca un valor bastante preciso con varias cifras decimales. También se sugiere que la fórmula de Euler-Maclaurin debiera incluirse en los cursos de matemáticas del pregrado.

Abstract. Gregory-Leibniz series ${\Large \Sigma}_{j=1}^{\infty} \frac{(-1)^{j+1}}{2j-1}=\frac{\pi}{4}$, is discussed in literature as an example of beautiful, interesting and simple analytic expression for $\pi$. Unfortunately, this series is considered by most authors as unsuitable for computation of $\pi$. It is shown that, using a simple transformation of the series and applying the Euler--Maclaurin summation formula, slow convergence can be accelerated to the point where numerical computation of $\pi$ can be performed accurately to several decimal places. It is also suggested that the Euler--Maclaurin formula, of some low order, should be included in the undergraduate mathematics curriculum.

* Since next year is the third-centenary of {\smcc Euler}'s birth, April 15, 1707, we dedicate this contribution to him, the main creator of the famous Euler-Maclaurin summation formula.


Palabras claves. acceleration, alternating, convergence, estimate, Euler-Maclaurin, Gregory-Leibniz, remainder, series.

Codigo AMS. 40A05, 40A25, 65B10, 65B15, 97D30, 97D40.

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