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Sociedad Colombiana de Matemáticas:Publicaciones
Lecturas Matemáticas
Volumen 27 [Especial] (2006)Páginas 117--135
Artículos Matemáticos

The complex numbers and complex exponentiation. Why Infinitary Logic is necessary!

John T. Baldwin
University of Illinois at Chicago, Chicago, E.U.A.

Resumen. Los cuerpos algebraicamente cerrados son categóricos en cada cardinalidad innumerable. Salvo isomorfismos, hay un solo modelo para cada cardinalidad. {Morley} demostró que una teoría de primer orden es categórica si, y sólo si, es categórica en cada cardinalidad innumerable. Durante los últimos 50 años, los lógicos ha desarrollado una elaborada teoría de conjuntos definibles en teorías categóricas de primer orden, las cuales llevaron finalmente a avances conectados con el teorema de Mordell--Weil. Aquí discutiré algunos marcos debidos esencialmente a { Shelah} para extender el teorema de Morley a lógicas más fuertes. En particular, consideraré los esfuerzos de { Zilber} para usar estas técnicas en la comprensión de la exponenciación compleja y las notables conjeturas en análisis complejo que se derivan de su investigación.

Abstract. Algebraically closed fields of a given characteristic are categorical in each uncountable cardinality; up to isomorphism there is only one model of each cardinality. { Morley} proved that a first order theory is categorical in one uncountable cardinality if and only if it is categorical in every uncountable cardinal. Over the last 50 years, logicians have developed a sophisticated theory of definable sets in categorical first order theories which led eventually to advances connected with the Mordell--Weil Theorem. I will discuss frameworks mainly due to { Shelah} for extending {Morley}'s theorem to stronger logics. In particular, I will consider { Zilber}'s efforts to use these techniques to understand complex exponentiation and the remarkable conjectures in complex analysis that have resulted from this investigation.

* Publicacion del número especial con el apoyo de Colciencias para el XV Congreso Nacional de Matemáticas


Palabras claves. Infinitary logic, Complex exponentiation, Categoricity.

Codigo AMS. 03C07, 03C35, 03C64.

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