PUBLICACIONES

Sociedad Colombiana de Matemáticas:Publicaciones

Revista Colombiana de Matemáticas

Volumen 42 [2] (2008)Páginas 153-166

Towards a new interpretation of Milnor's number

Carlos A. Cadavid
Universidad EAFIT, Medellín, Colombia
Juan D. Vélez
Universidad Nacional de Colombia, Medellín, Colombia

Resumen.El número de Milnor es un invariante fundamental del tipo de biholomorfismo de un germen de una función holomorfa f definida en una vecindad abierta W de 0∈ C n, tal que 0 es el único punto crítico de f en W. En este artículo presentamos una conjetura que daría una interpretación de este invariante en el caso n=2, como una cota inferior exacta para el número de factores de cualquier factorización en términos de giros de Dehn derechos de la monodromía alrededor de la fibra singular de f. Además, hacia el final del artículo, se describe brevemente una conjetura análoga para el caso en que tenemos una función holomorfa propia f:E→ Dr0 donde E es una superficie compleja con frontera, Dr0 es {z∈ C:|z|< r}, f tiene a f - 1(0) como su única fibra singular y todas las otras fibras son 2-variedades cerradas conexas de género, necesariamente constante, g≥ 0. Esta última conjetura ha sido demostrada recientemente por los autores en el caso en que el género de la fibra regular es 1 ([3]), y en ([5]), ese autor construye, para cada g≥ 2, una fibración fg:Eg → D10 cuya fibra regular tiene género g y que viola esta conjetura.

Abstract. The Milnor number is a fundamental invariant of the biholomorphism type of the singularity of the germ of a holomorphic function f defined on an open neighborhood W of 0∈ C n, and such that 0 is the only critical point of f in W. The present article describes a conjecture that would provide an interpretation of this invariant, in the case n=2, as a sharp lower bound for the number of factors in any factorization in terms of right-handed Dehn twists of the monodromy around the singular fiber of f. Also, towards the end of the paper, an analogue conjecture for proper holomorphic maps f:E→ Dr0 where E is a complex surface with boundary, Dr0 is {z∈ C:|z|< r}, and f has f - 1(0) as its unique singular fiber and all other fibers are closed and connected 2-manifolds of (necessarily the same) genus g≥ 0, is briefly described. The latter conjecture has been proved recently by the authors in the case when the regular fiber of f has genus 1 ([3]), and in ([5]), that author provides for each g≥ 2 an fg:Eg → D10 having genus g regular fiber and violating this conjecture.

Palabras claves. Milnor number, monodromy, right handed Dehn twist, morsification.

Codigo AMS. 14D05, 14D06, 14B07.

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